Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若关于x的不等式a＞f（x）有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令y=|2x+1|-|x-4|，去掉绝对值化简解析式并作出图象，求出函数y=|2x+1|-|x-4|与直线y=2的交点的坐标，结合图形得到答案．
（2）结合y=|2x+1|-|x-4|图象可求得f（x）_min，从而可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）令y=|2x+1|-|x-4|，
则y=

-x-5，x≤- 1 2 3x-3，- 1 2 ＜x＜4 x+5，x≥4

，
作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，它与直线y=2的交点为（-7，2）和 (

5

3

，2)，
所以|2x+1|-|x-4|＞2的解集为（-∞，-7）∪（

5

3

，+∞）．

（2）由图可知f（x）_min为直线y=3x-3与y=-x-5交点的纵坐标，由

y=3x-3 y=-x-5

解得y=-

9

2

，
∴f（x）_min=-

9

2

．
∴要使a＞f（x）有解，则a＞-

9

2

．
∴所求的实数a的取值范围为（-

9

2

，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合的数学思想．化简函数y=|2x+1|-|x-4|的解析式，做出图象，是此题的难点．