Question

已知函数是R上的偶函数，对于任意都有成立，当，且时，都有给出下列命题：
①      ②直线是函数的图像的一条对称轴；
③函数在[-9，-6]上为增函数；  ④函数在[-9，9]上有4个零点。
其中正确的命题为．           （将所有正确命题的编号都填上）

Answer 1

①②④

试题分析：取，得，而，
所以，命题①正确；从而已知条件可化为，
于是 ，所以是其一条对称轴，命题②正确；因为当，且时，都有，所以此时单调递增，从而在上单调递减，又从上述过程可知原函数的周期为6，从而当时，，，此时为减函数，所以命题③错误；同理，在[3，6]上单调递减，所以只有，得命题④正确．综上所述，正确命题的序号为①②④．
点评：函数的性质的考查一直以来都是热点，尤其以奇偶性单调性周期性最为常见，求解本题的入手点在于通过中x的恰当的赋值得到周期性及图像过的特殊点