Question

二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），导函数的图象与直线y=-

x

2

垂直
（1）求f（x）的解析式
（2）若函数g（x）=

f(x)-m

x

在（0，2）上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数模型设出函数解析式，然后根据f（0）=2，f（x）=f（-2-x），导函数的图象与直线y=-

x

2

垂直建立方程，解之即可；
（2）根据g（x）=x+

2-m

x

+2图象的性质建立不等式式组，解之即可．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（0）=2∴c=2
∵f（x）=f（-2-x）
∴图象的对称轴-

b

2a

=-1
导函数图象与直线y=-

x

2

垂直
∴2a=2从而解得：a=1  b=2  
∴a=1  b=2 c=2
∴f（x）=x²+2x+2  （x∈R）…（6）
（2）g(x)=

x 2+2x+2-m

x

=x+

2-m

x

+2在（0，2）上是减函数
当2-m≤0时，该函数在（0，+∞）上单调递增，故不符号题意．
g（x）=x+

2-m

x

+2≥2

2-m

+2
该函数在（0，

2-m

）上是减函数，在（

2-m

，+∞）上递减
∴

2-m＞0 2-m ≥2

∴m≤-2…（12）

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数解析式和二次函数的性质和对勾函数的性质，属于基础题．