Question

已知圆C的圆心在直线x-y=0上，且过定点A（

5

，2

5

），B（-3，-4）．
（1）求圆C的方程；
（2）求斜率为2且与圆C相切的直线的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设圆C方程为（x-a）²+（y-a）²=r²，代入A、B两点的坐标，解得a=0且r²=25，可得圆C的方程；
（2）设所求切线的方程为2x-y+m=0，切线到圆心的距离等于半径，由此利用点到直线的距离公式建立关于m等式，解出m的值即可得到所求切线方程．

解答：解：（1）∵圆C的圆心在直线x-y=0上，
∴设圆C方程为（x-a）²+（y-a）²=r²
又∵A（

5

，2

5

），B（-3，-4）在圆C上
∴

( 5 -a) 2+(2 5 -a) 2=r 2 (-3-a) 2+(-4-a) 2=r 2

，解之得a=0，r²=25
由此可得圆C的方程为x²+y²=25；
（2）设斜率为2且与圆C相切的直线为2x-y+m=0，
则圆心到直线的距离等于半径r，
即d=

|m|

22+(-1)2

=5，解得m=±5

5

∴斜率为2且与圆C相切的直线的方程为2x-y±5

5

=0．

点评：本题给出经过两个定点且圆心在定直线的圆，求圆方程并求满足特定条件的切线方程．着重考查了圆的方程、直线的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．