题目内容
已知圆C的圆心在直线l1：x-y-1=0上，与直线l2：4x+3y+14=0相切，且截得直线l3：3x+4y+10=0所得弦长为6，求圆C的方程．
分析：由题意设圆心为（a，b），半径为r，利用圆与直线4x+3y+14=0相切，在3x+4y+10=0上截得弦长为6，列出方程，即可求出a，b，从而可得到圆的方程．
解答：解：设圆心C（a，b），半径为r．
则∵圆C的圆心在直线l1：x-y-1=0上，
∴a-b-1=0，
∵圆C与直线l2：4x+3y+14=0相切
∴r=
，
∵圆C截得直线l3：3x+4y+10=0所得弦长为6
∴
=
．
所以
-
=9．
即
=9．
因为a-b=1，
所以
=9，
∴a+b=3．
由
解之得
故所求圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=25．
则∵圆C的圆心在直线l1：x-y-1=0上，
∴a-b-1=0，
∵圆C与直线l2：4x+3y+14=0相切
∴r=
| |4a+3b+14| |
| 5 |
∵圆C截得直线l3：3x+4y+10=0所得弦长为6
∴
| |3a+4b+10| |
| 5 |
| r2-9 |
所以
| (4a+3b+14)2 |
| 25 |
| (3a+4b+10)2 |
| 25 |
即
| (a-b+4)(7a+7b+24) |
| 25 |
因为a-b=1，
所以
| 5(7a+7b+24) |
| 25 |
∴a+b=3．
由
|
|
故所求圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=25．
点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，正确应用直线与圆相切，相交的关系是解题的关键，考查计算能力．
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