Question

已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y-7=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l：ax-y-2=0（a＞0）与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（-2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设圆心坐标为（t，t+1），半径为r，则圆的方程可得，根据题意把点A代入圆方程，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离等于半径联立方程求得t和r，则圆的方程可求得．
（2）把直线方程代入圆的方程，消去y整理利用判别式大于0求得a的范围．
（3）设符合条件的实数a存在，由于a≠0，则直线l的斜率为-

1

a

，则l的方程可得，把圆心代入求得a，根据（2）中的范围可知a不符合题意，进而可判断出不存在实数a，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB．

解答：解：（1）解：设圆心坐标为（t，t+1），半径为r，则圆的方程为（x-t）²+（y-t-1）²=r²
依题意可知

(1-t)2+(2-t) 2=r2 |t+2t+2|-7 5 =r

求得t=0，r=

5

∴圆的方程为x²+（y-1）²=5；

（2）把直线ax-y-2=0即y=ax-2代入圆的方程，消去y整理，得
（a²+1）x²-6ax+4=0．由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，
故△=36a²-16（a²+1）＞0．即5a²-4＞0，由于a＞0，解得a＞

2 5

5

．
所以实数a的取值范围是（

2 5

5

，+∞）．

（3）设符合条件的实数a存在，由于a≠0，则直线l的斜率为-

1

a

，
l的方程为y=-

1

a

（x+2）+4，即x+ay+2-4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（0，1）必在l上．
所以0+a+2-4a=0，解得a=

2

3

．
由于

2

3

∉(

2 5

5

，+∞)，
故不存在实数a，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB．

点评：本题主要考查了直线与的方程的综合运用．考查了考生综合分析问题和解决问题的能力．