Question

求证：(n+1)(n+2)+(n+3)·…·（n+n）=2ⁿ×1×3×5×…×(2n-1).

Answer 1

证明:用数学归纳法.当n=1时，显然成立.

根据归纳法假设，当n=k时，命题成立，即

(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)=2^k×1×3×5×…×(2k-1).①

要证明n=k+1时，命题也成立，即

(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)

=2^k+1×1×3×5×…×［2(k+1)-1］.②

要用①来证明②，事实上，对等式①两边乘以,就凑好了等式②的左边.接下来，对［2^k×1×3×5×…×(2k-1)］×恒等变形，可得②式右边.因此，对任意n∈N^*，原不等式成立.