Question

（文）设a，b，x，y，是正数，且a²+b²=10，x²+y²=40，ax+by=20，则

a+b

x+y

=（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：通过三角函数的代换即可得出角度之间的关系，进而可求出答案．

解答：解：由a，b，x，y，是正数，且a²+b²=10，x²+y²=40，可设

a= 10 cosα b= 10 sinα

，

x=2 10 cosβ y=2 10 sinβ

，且α，β∈(0，

π

2

)．
又∵ax+by=20，∴20cosαcosβ+20sinαsinβ=20，∴cos（α-β）=1，∴α=β+2kπ（k∈Z）．
∴

a+b

x+y

=

10 (cosα+sinα)

2 10 (cosβ+sinβ)

=

1

2

×

cosα+sinα

cosβ+sinβ

=

1

2

×

cos(β+2kπ)+sin(β+2kπ)

cosβ+sinβ

=

1

2

×

cosβ+sinβ

cosβ+sinβ

=

1

2

．
故选C．

点评：恰当利用三角函数的代换是解题的关键．