Question

将两块三角板按图甲方式拼好（A、B、C、D四点共面），其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，现将三角板ACD沿AC折起，使点D在平面ABC上的射影O恰好在AB上（如图乙）．
（1）求证：AD⊥平面BDC；
（2）求二面角D-AC-B的大小；
（3）求异面直线AC与BD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）在平面内找两条相交直线，再分别证明这两条直线与已知直线垂直，即可利用线面垂直的判定定理得到得到线面垂直．
（2）利用题中的垂直关系作出二面角的平面角，再证明此角是所求角，然后放入三角形中利用解三角形的有关知识求解答案即可．
（3）建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量与直线AC所在的向量，结合向量之间的基本运算求出两个向量的夹角进而转化为线面角．

解答：解：（1）证明：由已知DO⊥平面ABC，
∴平面ADB⊥平面ABC，
又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面ADB，
又∵AD?平面ADB，∴BC⊥AD，
又∵AD⊥DC，∴AD⊥平面BDC　　　　
（2）由（1）得AD⊥BD，
由已知AC=2，得AB=

2

，AD=1，
∴BD=1，∴O是AB的中点，DO=

2

2

过D作DE⊥AC于E，连接OE，则OE⊥AC．
∴∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，
因为DE=

3

2

，
∴sin∠DEO=

DO

DE

=

6

3

．
∴∠DEO=arcsin

6

3

．
即二面角D-AC-B的大小为arcsin

6

3

．
（3）取AC的中点G，连接OG，以O为原点，分别以GO、OB、OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，-

2

2

，0)，B(0，

2

2

，0)，C(-

2

2

2

，0)，D(0，0，

2

2

)．
∴

AC

=(-

2

，

2

，0)，

BD

=(0，-

2

2

，

2

2

)．
设AC与BD所成的角为α，
则cosα=

| AC • BD |

| AC || BD |

=

1

2

，∴α=60°．
即异面直线AC与BD所成角的大小为60°．
（由D在平面ABC上的射影一定要落在，平面图形ABCD中，过D点与AC垂直的直线上，由平面几何知识可得O为AB中点）

点评：夹角此类问题的关键是熟悉几何体的结构题中，不但利用题中的线面关系夹角平行、垂直、空间角等问题，也可以建立适当的坐标系借助与向量解决以上问题．