Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数，．

（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；

（2）已知，，若对任意都成立，求的最大值；

（3）设，若存在，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 见解析(2) (3) 或．

【解析】

（1），讨论a,确定单调性即可；（2）由（1）得，,对任意都成立，得，构造函数，（），求导求其最值即可求解；（3）设，即

题设等价于函数有零点时的的取值范围，利用零点存在定理求解即可

（1）由，知．

若，则恒成立，所以在上单调递增；

若，令，得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减；在上单调递增．

综上，增区间是，无减区间

，增区间是，减区间是

（2）由（1）知，当时，．

因为对任意都成立，所以，

所以．

设，（），由，

令，得，

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减，

所以在处取最大值，且最大值为．

所以，当且仅当，时，取得最大值为．

（3）设，即

题设等价于函数有零点时的的取值范围．

① 当时，由，，所以有零点．

② 当时，若，由，得；

若，设h(x)=故h(x)单增，所以h(x)> h(0)=0,所以无零点．

③ 当时，，

又存在，，所以有零点．

综上，的取值范围是或．