题目内容

若a＞0，b＞0，且点（a，b）在过点（1，-1）和（2，-3）的直线上，则S=2 $数学公式$ -4a²-b²的最大值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：由点（a，b）在过点（1，-1）和（2，-3）的直线上得2a+b=1，所以S=2 $\text{[math]}$ -4a²-b²=4ab+2 $\text{[math]}$ -1，再令 $\text{[math]}$ =t＞0，则S化为关于t的二次函数形式，再由二次函数的性质结合t的取值范围可得S的最大值．
解答：∵点（a，b）在过点（1，-1）和（2，-3）的直线上
∴ $\text{[math]}$ 即2a+b=1
∴S=2 $\text{[math]}$ -4a²-b²=4ab+2 $\text{[math]}$ -（2a+b）²=4ab+2 $\text{[math]}$ -1
令 $\text{[math]}$ =t，则0＜t $\text{[math]}$ ，
则 S=4t²+2t-1，在（0，+∞）上为增函数
故当t= $\text{[math]}$ 时，S 有最大值 $\text{[math]}$ ，
故选A．
点评：本题考查了函数的最值及其几何意义，属于中档题．注意利用等价转换，结合基本不等式和二次函数的单调来求这个最值问题．运用换元的思想得到 S=4t²+2t-1，是解决本题的关键．