Question

在等差数列{ a_n}中，公差d＞0，a₂₀₀₉，a₂₀₁₀是方程 x²-3x-5=0 的两个根，S_n是数列{ a_n}的前n项的和，那么满足条件S_n＜0的最大自然数n=（　　）

A．4017

B．4018

C．4019

D．4010

Answer 1

分析：由a₂₀₀₉，a₂₀₁₀是方程 x²-3x-5=0 的两个根，知a₂₀₀₉+a₂₀₁₀=3，a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=-5，a₂₀₀₉，a₂₀₁₀符号相反，由d＞0，知a₂₀₀₉＜0，a₂₀₁₀＞0，且|a₂₀₀₉|＜|a₂₀₁₀|，由此能求出满足条件Sn＜0的最大自然数n．

解答：解：∵a₂₀₀₉，a₂₀₁₀是方程 x²-3x-5=0 的两个根，
∴a₂₀₀₉+a₂₀₁₀=3，a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=-5，
∴a₂₀₀₉，a₂₀₁₀符号相反，
∵d＞0，∴a₂₀₀₉＜0，a₂₀₁₀＞0，且|a₂₀₀₉|＜|a₂₀₁₀|，
∴S_{（2009×2）}=S₄₀₁₈=

4018

2

×(a2009+a2010)=3×2009＞0，
S_{（2009×2-1）}=S₄₀₁₇=

4017

2

(a2009+a2009)=a₂₀₀₉×4017＜0，
所以S_n＜0的最大n=4017．
故选A．

点评：本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．