Question

在等差数列是{a_n}中，已知a₄与a₂与a₈的等比中项，a₃+2是a₂与a₆的等差中项，S_n是前n项和，则满足

9

11

＜

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

19

21

(n∈N*)的所有n值的和为

35

．

Answer 1

分析：由a₄是a₂与a₈的等比中项，a₃+2是a₂与a₆的等差中项，可求得公差、首项，进而得到通项a_n，从而求得S_n及

1

Sn

，于是可求出

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，解不等式

9

11

＜

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

19

21

，由n的范围可确定n值，其和易求．

解答：解：设等差数列是{a_n}的公差为d，由a₄是a₂与a₈的等比中项，得(a1+3d)2=（a₁+d）（a₁+7d），化简得a1d=d2①，
由a₃+2是a₂与a₆的等差中项，得2（a₁+2d+2）=（a₁+d）+（a₁+5d），解得d=2，代入①得a₁=d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）•d=2n，
则Sn=

n(2+2n)

2

=n（n+1），
所以

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
则

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
由已知得

9

11

＜1-

1

n+1

＜

19

21

，解得

9

2

＜n＜

19

2

，
又n∈Z，所以n=5，6，7，8，9，且5+6+7+8+9=35，
故答案为：35．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合、数列求和问题，属中档题，通项公式、求和公式及相关基本方法是解决问题的基础．