题目内容
设函数f（x）=
．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
【答案】分析：（1）先求定义域，然后根据奇偶函数的定义进行判断；
（2）设1≤x1＜x2，只需利用作差证明f （x1）＜f （x2）；
解答：解：（1）f（x）为偶函数，理由如下：
由x2-1≥0得f（x）的定义域为（-∞，-1]∪[1，+∞），
又f（-x）=f（x），
所以f（x）为偶函数．
（2）设1≤x1＜x2，
则
=
=
，
∵1≤x1＜x2，∴
，
，
∴f （x1）-f （x2）＜0，即f （x1）＜f （x2），
∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断证明，属中档题，定义是解决该类题目的基础．
（2）设1≤x1＜x2，只需利用作差证明f （x1）＜f （x2）；
解答：解：（1）f（x）为偶函数，理由如下：
由x2-1≥0得f（x）的定义域为（-∞，-1]∪[1，+∞），
又f（-x）=f（x），
所以f（x）为偶函数．
（2）设1≤x1＜x2，
则
=
=，∵1≤x1＜x2，∴
，，∴f （x1）-f （x2）＜0，即f （x1）＜f （x2），
∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断证明，属中档题，定义是解决该类题目的基础．
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