Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原点O为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程
（2）过椭圆C的右焦点F作斜率为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线l交椭圆C于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}$，又点D关于坐标原点O的对称点为点E，求AB与DE两条线段的垂直平分线的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）F（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得直线l：y=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），与椭圆方程联立化为2x²-2x-1=0，利用根与系数的关系可得：$\overrightarrow{OD}=-$$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$．即可得出点D关于坐标原点O的对称点为点E．即可得出线段DE的垂直平分线的方程．同理可得其垂直平分线的方程，联立解出即可得出．

解答 解：（1）a=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
解得b=c=1．
∴椭圆C的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）F（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
可得直线l：y=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为2x²-2x-1=0，
∴x₁+x₂=1，
y₁+y₂=$-\frac{\sqrt{2}}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}-2）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\overrightarrow{OD}=-$$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$=$（-1，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
∴点D关于坐标原点O的对称点为点E$（1，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
k_DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴线段DE的垂直平分线的方程为：$y=-\sqrt{2}$x．
线段AB的中点为$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{4}）$，
因此其垂直平分线的方程为：y-$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\sqrt{2}$（x-$\frac{1}{2}$），化为4$\sqrt{2}x$-4y-$\sqrt{2}$=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{2}x}\\{4\sqrt{2}x-4y-\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{1}{8}$，y=-$\frac{\sqrt{2}}{8}$．
∴AB与DE两条线段的垂直平分线的交点坐标为$（\frac{1}{8}，-\frac{\sqrt{2}}{8}）$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、线段的垂直平分线的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．