Question

3．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）的图象如图所示．试依图指出：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）=0的x的取值集合；
（3）使f（x）＜0的x的取值集合
（4）f（x）的单调递增区间和递减区间；
（5）求使f（x）取最小值的x的集合；
（6）图象的对称轴方程；
（7）图象的对称中心．

Answer 1

分析 由条件，根据周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）=Asin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）．结合函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象、再利用正弦函的性质，得出结论．

解答 解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，可得周期T=$\frac{2π}{ω}$=2（$\frac{7π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=3π，∴ω=$\frac{2}{3}$，
再根据五点法作图可得$\frac{2}{3}$•$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{3}$，故f（x）=Asin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）．
（1）f（x）的最小正周期为 3π；
（2）令$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，求得可得f（x）=0的x的取值集合为{x|x=-$\frac{π}{2}$+k•$\frac{3π}{2}$，k∈Z}；
（3）结合图象，∵$\frac{\frac{π}{4}+\frac{7π}{4}}{2}$=π，故使f（x）＜0的x的取值集合为{x|π+k•3π＜x＜π+$\frac{3π}{2}$+k•3π，k∈Z}；
（4）结合f（x）=Asin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得k•3π-$\frac{5π}{4}$≤x≤k•3π+$\frac{π}{4}$，
可得f（x）的单调递增区间为[k•3π-$\frac{5π}{4}$，k•3π+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得k•3π+$\frac{π}{4}$≤x≤k•3π+$\frac{7π}{4}$，
同理求得函数f（x）的递减区间为[k•3π+$\frac{π}{4}$，k•3π+$\frac{7π}{4}$]，k∈Z．
（5）令$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=k•3π-$\frac{5π}{4}$，故使f（x）取最小值的x的集合为{x|x=k•3π-$\frac{5π}{4}$，k∈Z}；
（6）令$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=k•$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{4}$，可得f（x）的图象的对称轴方程为x=k•$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z；
（7）令$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，求得x=$\frac{3kπ}{2}$-$\frac{π}{2}$，故f（x）的图象的对称中心为（k•$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{2}$，0），k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．