Question

数列{a_n}是等差数列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1）其中f（x）=x²-4x+2
（1）若{a_n}（2）的公差d＞0，求通项公式a_n（3）
（4）在（1）的条件下，若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an-n+4
（5），求证：b_n•b_n+2＜b²_n+1（6）

Answer 1

分析：（1）a₁=f（x+1）=x²-2x-1，a₂=f（x-1）=x²-6x+7由{a_n}为等差数列，能够求出通项公式a_n．
（2）由a_n=2n-4，知b_n+1-b_n=2ⁿ，b_n-1-b_n-2=2^n-2，…，b₂-b₁=2，累加得b_n=2^n-1+2^n-2+…+2+1=2ⁿ-1，由此能够证明b_n•b_n+2＜b²_n+1．

解答：（1）解：a₁=f（x+1）=x²-2x-1，
a₂=f（x-1）=x²-6x+7，
由{a_n}为等差数列，
得2a₂=a₁+a₃
∴2x²-8x+6=0，
∴x=1或x=3…（2分）
x=1时a₁=-2a₂=0d=2＞0合题意，
∴a_n=2n-4x=3时a₁=2a₂=0d=-2，舍去
∴a_n=2n-4…（5分）
（2）证明：由（1）知a_n=2n-4，
从而b_n+1-b_n=2ⁿ，
b_n-1-b_n-2=2^n-2，…，b₂-b₁=2，
累加得　b_n=2^n-1+2^n-2+…+2+1=2ⁿ-1…（8分）
因为b_n•b_n+2-b²_n+1
=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²
=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1-（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1）
=-2ⁿ＜0．
所以b_n•b_n+2＜b²_n+1…（10分）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和证明b_n•b_n+2＜b²_n+1，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．