Question

下图是一几何体的直观图、主观图、左视图、俯视图．其中俯视图为正方形，主视图为直角梯形，左视图为等腰直角三角形，且CE是中线．
（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；
（2）证明：BD∥面PEC．

Answer 1

分析：（1）由由三视图知，ABCD为正方形，BE∥

1

2

PA，PA⊥平面ABCD，PA=AD．可证DC⊥面APD，AF?面APD，从而DC⊥AF，利用线面垂直的判定定理即可证得AF⊥面PCD；
（2）取PC中点M，连接AC，AC与BD的交点为N，求证EM∥BD再由线面平行的判定定理证BD∥平面PEC；

解答：证明：由三视图知，ABCD为正方形，BE∥

1

2

PA，PA⊥平面ABCD，PA=AD．
（1）∵F为PD中点，
∴AF⊥PD，
又∵

DC⊥DA DC⊥PA DA∩PA=A

，
∴DC⊥面APD，AF?面APD，
∴DC⊥AF，又DC∩PD=D，
∴AF⊥面PCD；
（2）取PC中点M，连接AC，AC与BD的交点为N，
连接MN，
∴MN∥

1

2

PA，PA∥BE，
∴MN

∥ .

.

BE，
故四边形BEMN为平行四边形，
∴BD∥EM，
∵EM?面PEC，BD?面PEC，
∴BD∥面PEC．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定及直线与平面平行的判定，难点在于三视图的理解与应用及（2）的证明，属于中档题．