Question

如图，函数y=2sin（πx+φ），x∈R，（其中0≤φ≤

π

2

）的图象与y轴交于点（0，1）．设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，

PM

•

PN

=

15

4

．

Answer 1

分析：由已知中函数y=2sin（πx+φ），x∈R，（其中0≤φ≤

π

2

）的图象与y轴交于点（0，1）．我们可以计算出φ值，进而得到P，M，N点的坐标，求出向量

PM

，

PN

的坐标后，代入向量数量积公式，可得

PM

•

PN

的值．

解答：解：∵函数y=2sin（πx+φ），x∈R，（其中0≤φ≤

π

2

）的图象与y轴交于点（0，1）．
可得φ=

π

6

则M坐标为（-

1

6

，0），N点坐标为（

5

6

，0），P点坐标为（

1

3

，2）
故

PM

=（-

1

2

，-2），

PN

=（

1

2

，-2）
故

PM

•

PN

=-

1

2

•

1

2

+（-2）•（-2）=

15

4

故答案为：

15

4

点评：本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，平面向量的数量积运算，是平面向量与三角函数图象的综合应用，求出函数解析式是解答本题的关键．