Question

已知点

F

1

、

F

2

分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F₂的距离的最大值为

2

+1，且△P

F

1

F

2

的最大面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）点M的坐标为(

5

4

，0)，过点F₂且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A、B两点，求

MA

•

MB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由P到焦点F₂的距离的最大值为

2

+1，可得a+c=

2

+1，由△P

F

1

F

2

的最大面积为1，可得bc=1，结合a²=b²+c²，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1）代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算，化简即可求得

MA

•

MB

的值．

解答：解：（Ⅰ）依题意，∵P到焦点F₂的距离的最大值为

2

+1，
∴a+c=

3

+1，①
∵△P

F

1

F

2

的最大面积为1，
∴

S	△P F   1 F   2

=

1

2

•2c×b=bc=1，②
又a²=b²+c²，③
由①②③解得：a²=2，b²=c²=1，得椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1）代入椭圆方程，消去y整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由于点M (

5

4

，0)在椭圆内，显然上式的判别式△＞0恒成立，故直线L总与椭圆C相交于A、B两点
设A(

x

1

，

y

1

)，B(

x

2

，

y

2

)，
∴

x

1

+

x

2

=

4k2

1+2k2

，

x

1

x

2

=

2k2-2

1+2k2

，

MA

=(

x

1

-

5

4

，

y

1

)，

MB

=(

x

2

-

5

4

，

y

2

)，
∴

MA

•

MB

=(

x

1

-

5

4

)(

x

2

-

5

4

)+

y

1

y

2

=

x

1

x

2

-

5

4

(

x

1

+

x

2

)+

25

16

+k2(

x

1

-1)(

x

2

-1)=(1+k2)

x

1

x

2

-(

5

4

+k2)(

x

1

+

x

2

)+k2+

25

16

=(1+k2)•

2k2-2

1+2k2

-

5+4k2

4

•

4k2

1+2k2

+k2+

25

16

=-

7

16

故

MA

•

MB

=-

7

16

．

点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量的数量积，考查学生的计算能力，属于中档题．