Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，an+1=

an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设

2

bn

=

1

an

+1，数列{b_nb_n+2}的前n项和T_n，求证：Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

an

2an+1

得

1

an+1

-

1

an

=2，结合等差数列的定义可得结论；
（2）由（1）及等差数列的通项公式可求得a_n；
（3）由

2

bn

=

1

an

+1得bn=

1

n

，从而可得b_nb_n+2，拆项后利用裂项相消法可得T_n，易得结论；

解答：证明：（1）由an+1=

an

2an+1

得：

1

an+1

-

1

an

=2，且

1

a1

=1，
∴数列{

1

an

}是以1为首项，以2为公差的等差数列；
（2）由（1）得：

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，
故an=

1

2n-1

；
（3）由

2

bn

=

1

an

+1得：

2

bn

=2n-1+1=2n，
∴bn=

1

n

，
从而：bnbn+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
则T_n=b₁b₃+b₂b₄+…+b_nb_n+2
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

．

点评：本题考查由递推式求数列通项、等差关系的确定及数列求和，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．