Question

已知关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a＞2009（a是常数）的解是非空集合，则a的取值范围是________．

Answer 1

（-∞，1004）
分析：关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a＞2009（a是常数）的解是非空集合，等价于y=|x+a|+|x-1|的图形在y=2009-a的上方存在．画出图形就容易得出a的取值范围．也可以对a≥1和a＜1两种情况进行讨论．针对两种情况看分别进行“零点分段”来解出不等式，来进行分析得出．
解答：关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a＞2009（a是常数）的解是非空集合，
即为存在y=|x+a|+|x-1|的图形在y=2009-a的上方．
y=|x+a|+|x-1|的图形是一条有两个折点的折线．
y=2009-a是一条平行于x轴的直线．
a的取值范围是（-∞，1004）；
所以答案为：（-∞，1004）．
点评：（1）关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a＞2009（a是常数）的解是非空集合，等价于存在y=|x+a|+|x-1|的图形在y=2009-a的上方．与恒成立是有本质区别的．
（2）y=|x+a|+|x+b|的图形为一条带有两个折点的直线．