Question

已知函数f（x）=x³﹣ax²﹣3x
（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=﹣是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f'（x）=3x²﹣2ax﹣3
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f'（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
即3x²﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
则必有且f'（1）=﹣2a≥0，
∴a≤0
（2）依题意x=﹣是f（x）的一个极值点，
∴即
∴a=4，
∴f（x）=x³﹣4x²﹣3x
令f'（x）=3x²﹣8x﹣3=0，得
则当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，
即方程x³﹣4x²﹣3x=bx恰有3个不等实根
∴x³﹣4x²﹣3x﹣bx=0恰有3个不等实根
∵x=0是其中一个根，
∴方程x²﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根，
∴
  ∴b＞﹣7，且b≠﹣3