Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3，其中a为实数．
（1）设t＞0为常数，求函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值；
（2）若对一切x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f'（x）=lnx+1，利用导数与单调性的关系，分类求解
（2））由已知，2xlnx≥-x²+ax-3，分离参数，则a≤2lnx+x+

3

x

，构造h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0) 通过研究h（x）的最值确定a的范围．

解答：解答：（1）f'（x）=lnx+1，
当x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增
①0＜t＜t+2＜

1

e

，没有最小值；
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；（5分）
所以f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e . tlnt，t≥ 1 e

（2）由已知，
2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

，
设h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，则h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，
①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，
②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以a≤h（x）_min=4；

点评：本题考查函数导数与单调性的关系的应用，求最值．以及构造、分类、参数分离的解题方法．