Question

【题目】已知无穷数列满足：，．

（Ⅰ）若；

（ⅰ）求证：；

（ⅱ）数列的前项和为且，求证：；

（Ⅱ）若对任意的，都有，写出的取值范围并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析（Ⅱ），见解析

【解析】

（Ⅰ）（ⅰ）首先根据已知条件推出与的大小关系，计算出，然后求出的取值范围，从而可使问题得证；（ⅱ）首先根据条件求出，然后求出，从而结合（ⅰ）的结论使问题得证；

（Ⅱ）首先分，，三种情况求出的取值范围，然后当时，求出的取值范围，从而可推出在时，当时，，不符合题意，即可求解的取值范围．

（Ⅰ）证明：（ⅰ），

①，∵，∴，∴，

②假设时，，则，

∴时，，，

由①②对一切正整数都有，

∴，

∴，

∴，

∴，

但当时，，

∴．

（ⅱ）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

由（ⅰ）知，

∴．

（Ⅱ）∵对任意的，都有，

且，∴显然，由（I）证明知，

①若，则，∴，∴；

②若，则为常数列，∴；

③若，则，∴，

又，

若，则，则，

∴，

∴当时，有，

∴当时，，不符合题意．

综上可知，。