Question

（本题满分12分）

如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直，直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连接并延长交直线于点，为的中点．试判断直线与以为直径的圆的位置关系．

 

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）直线与以为直径的圆相切.

【解析】(1)此方程表示过定点的直线系，可以先确定其定点，即可确定b的值，然后根据离心率，可以求出a,进而求出椭圆的标准方程.

(2) 设，则.，

，

点在以为圆心，2为半径的圆上，即点在以为直径的圆上.

然后证明的关键是,用坐标表示出来，证明其数量积等于即可.

解：（1）将整理得，解方程组得直线所经过的定点为.

由离心率，得.椭圆的标准方程为 ……5分

（1）   设，则.，

，

点在以为圆心，2为半径的圆上，即点在以为直径的圆上.

又直线l的方程为.令，得.

又，的中点，

，直线与以为直径的圆相切……12分