题目内容

在2008年北京奥运会青岛奥帆赛举行之前，为确保赛事安全，青岛海事部门举行奥运安保海上安全演习．为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得∠ADC=30°，3分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则船速为________千米/分钟．

$\text{[math]}$
分析：可设|AB|=xkm，在△ACD中，可求得∠CAD=45°，利用正弦定理可求得|AD|；在△BCD中，可求得∠CBD=45°，从而可求得|BD|=1km，最后可在△ABD中，由余弦定理求得|AB|，从而可求得船速．
解答：设|AB|=xkm，在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACB=60°，∠BCD=45°，
∴∠CAD=45°，又|CD|=1km，
∴由正弦定理 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得：|AD|= $\text{[math]}$ ；
在△BCD中，∠ADC=30°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，
∴∠CBD=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，∠BCD=∠CBD=45°，
∴|BD|=1km；
在△ABD中，由余弦定理得，
|AB|²=|BD|²+|AD|²-2|BD|•|AD|cos∠ADB
=1²+ $\text{[math]}$ -2×1× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∴|AB|= $\text{[math]}$ km，设船速为vkm/分钟，
则v= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ vkm/分钟，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查解三角形的实际应用，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，解决问题时，思路清晰，条理清楚是关键，属于中档题．

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