题目内容

已知无穷数列，…，，…，求证：

（1）这个数列是等比数列；

（2）这个数列中的任一项是其后第5项的；

（3）数列中任两项之积仍为数列中的项.

 

答案：
解析：

（1）任取数列中的相邻两项an=，an+1=，则.

由等比数列定义可知数列为等比数列.

（2）任取数列中一项am=，则其后第5项应为am+5=.

则

得证.

（3）任取数列中两项

则.

∵n1≥1，n2≥1，且n1、n2∈N*，

∴n1+n2－2>0，且n1+n2－2∈N*

∴符号已知数列中项的特点，

即为数列中的项.

 


练习册系列答案
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已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为-2的等差数列；am+1，am+2，…a2m是首项为
1
2
，公比为
1
2
的等比数列（m≥3，m∈N*），并对任意n∈N*，均有an+2m=an成立．
（1）当m=12时，求a2010；
（2）若a52=
1
128
，试求m的值；
（3）判断是否存在m，使S128m+3≥2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是以10为首项，以-2为公差的等差数列；am+1，am+2，…，a2m是以
1
2
为首项，以
1
2
为公比的等比数列（m≥3，m∈N*）；并且对一切正整数n，都有an+2m=an成立．若a23=-2，则m=
 
．
已知无穷数列{an}为等差数列，各项均为正数，给出方程aix2+2ai+1x+ai+2=0（i=1，2，3，…）．
（1）求证这些方程有一个公共根为-1；
（2）设这些方程除公共根以外的另一根为αi，且f（n）=（α1+1）（α2+1）+（α2+1）（α3+1）+…+（αn+1）（αn+1+1）．求证：f（n）＜
4da1
．（其中d为数列{an}的公差）
已知无穷数列{an}中a1=1，且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常数-
1
2
，则无穷数列{an}的各项和
2
3
2
3
．
已知无穷数列{an}满足a1=2，数列{(
1
2
)an}是各项和等于
2b
2b+2-4
的无穷等比数列，其中常数b是正整数．
（1）求无穷等比数列{(
1
2
)an}的公比和数列{an}的通项公式；
（2）在无穷等比数列{bn}中，b1=a1，b2=a2，试找出一个b的具体值，使得数列{bn}的任意项都在数列{an}中；试找出一个b的具体值，使得数列{bn}的项不都在数列{an}中，简要说明理由；
（3）对于问题（2）继续进行研究，探究当且仅当b取怎样的值时，数列{bn}的任意项都在数列{an}中，说明理由．

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