Question

已知无穷数列{a_n}为等差数列，各项均为正数，给出方程a_ix²+2a_i+1x+a_i+2=0（i=1，2，3，…）．
（1）求证这些方程有一个公共根为-1；
（2）设这些方程除公共根以外的另一根为α_i，且f（n）=（α₁+1）（α₂+1）+（α₂+1）（α₃+1）+…+（α_n+1）（α_n+1+1）．求证：f（n）＜

4d

a1

．（其中d为数列{a_n}的公差）

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的性质可得a_i+a_i+2=2a_i+1，x=-1代入所给方程可证明；
（2）由韦达定理可得αi•(-1)=

ai+2

ai

，由此可得a_i，进而可用a_i，d表示a_i+1，则(αi+1)(αi+1+1)=

4d2

aiai+1

=4d(

1

ai

-

1

ai+1

)，用裂项相消法可得f（n），从而可证明；

解答：（1）证明：因为{a_n}为等差数列，所以a_i+a_i+2=2a_i+1，
将x=-1代入所给方程，得a_i-2a_i+1+a_i+2=0（i=1，2，3，…）．
所以这些方程有一个公共根为-1；
（2）∵αi•(-1)=

ai+2

ai

，∴αi=-

ai+2

ai

，αi+1=1-

ai+2

ai

=

-2d

ai

，
∴(αi+1)(αi+1+1)=

4d2

aiai+1

=4d(

1

ai

-

1

ai+1

)，
∴（α₁+1）（α₂+1）+（α₂+1）（α₃+1）+…+（α_n+1）（α_n+1+1）
=4d[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)]=4d(

1

a1

-

1

an+1

)＜4d•

1

a1

=

4d

a1

，即f(n)＜

4d

a1

；

点评：本题考查数列与不等式的综合、等差数列的通项公式及数列求和，解决（2）问的关键时化简f（n）．