Question

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t是参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-），直线l与曲线C相交于A、B两点．
（I）求曲线C的直角坐标方程，并指出它是什么曲线；
（II）若|AB|≥，求α的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-），可化为，
∴，
∴曲线C的普通方程为，
即，
∴曲线C是圆心为C，半径r=2的圆．
（Ⅱ）方法一：∵r=2，弦|AB|≥，
根据圆心C到直线l的距离d=，
∴d≤=．
当时，圆心C到直线l的距离是1，不成立；
当时，设k=tanα，则l：．
d==，
解得，即．
∵0≤α＜π，∴，即为α的取值范围．
方法二：把代入曲线C的方程，
化为t²+2tcosα-3=0，
∴t₁+t₂=-2cosα，t₁t₂=-3．
∴|AB|=|t₁-t₂|==，
∵|AB|，
∴，
∴，
∵0≤α＜π，∴，即为α的取值α
分析：（Ⅰ）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可把极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）方法一：利用圆心C到直线l的距离d、r、三者之间的关系：d=，及|AB|，即可求出答案；
方法二：把直线的参数方程代入圆的普通方程化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式|AB|=|t₁-t₂|和|AB|即可得出的答案．
点评：正确利用圆心C到直线l的距离d、r、三者之间的关系：d=，及直线l的参数方程中的t的意义是解题的关键．