Question

以双曲线的焦点为圆心，实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为

1. A.
   
2. B.
   5
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

A
分析：不妨设双曲线的方程为：，双曲线的一条渐近线方程为，即bx-ay=0，根据以双曲线的焦点为圆心，实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切，可建立方程，从而得解．
解答：不妨设双曲线的方程为：，双曲线的一条渐近线方程为，即bx-ay=0
∵以双曲线的焦点为圆心，实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切
∴
∴b²c²=4a²（b²+a²）
∴（c²-a²）c²=4a²c²
∴c²=5a²
∴
∴
故选A．
点评：本题以双曲线为载体，考查圆与双曲线的渐近线相切，考查双曲线的几何性质，正确运用直线与圆相切是关键．