Question

若动点P（x，y）在曲线

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)上变化，则x²+2y的最大值为多少．

Answer 1

分析：利用三角换元，设点P（2cosθ，bsinθ），x²+2y=4cos²θ+2bsinθ=-4sin²θ+2bsinθ+4，再利用换元法，设sinθ=t，（-1≤t≤1），从而转化为二次函数的值域问题，由于对称轴t=

b

4

，故进行分类讨论．

解答：解：设点P（2cosθ，bsinθ），x²+2y=4cos²θ+2bsinθ=-4sin²θ+2bsinθ+4
令T=x²+2y，sinθ=t，（-1≤t≤1），T=-4t²+2bt+4，（b＞0），对称轴t=

b

4

当

b

4

＞1，即b＞4时，t=1时，T_max=2b；
当0＜

b

4

≤1，即0＜b≤4时，Tmax=T|t=

b

4

=

b2

4

+4
∴(x2+2y)max=

b2 4 +4，0＜b≤4 2b，b＞4

点评：本题以曲线为载体，考查代数式的最值，考查换元思想，解题的关键是利用二次函数的最值研究方法进行分类讨论．