Question

已知函数f（x）=x|x-4|，
（Ⅰ）作出函数的简图，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[0，a]上最大值；
（Ⅲ）若函数f（x）在开区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别写出m、n的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=x|x-4|=

x(x-4)，x≥4 x(4-x)，x＜4

，作出简图，由图即可写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）结合函数的简图，对a分0＜a≤2，2＜a≤2+2

2

与a＞2+2

2

的讨论，利用函数的单调性与最值及可求得答案；
（Ⅲ）依题意，数形结合，即可求得出m、n的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=x|x-4|=

x(x-4)，x≥4 x(4-x)，x＜4

由图象可知，单调递增区间为（-∞，2]，[4，+∞）（开区间不扣分）…（6分）
（Ⅱ）由图可知，
当0＜a≤2时，f（x）在区间[0，a]上单调递增，故f（x）_max=f（a）=4a-a²；
当a＞4时，由f（a）=f（2）得：a²-4a=f（2）=4，解得a=2+2

2

，
即2＜a≤2+2

2

时，f（x）在区间[0，a]上的最大值为f（2）=f（a）=4；
当a＞2+2

2

时，f（x）在区间[0，a]上单调递增，故f（x）_max=f（a）=a²-4a，
综上所述，f（x）_max=

4a-a2，0＜a≤2 4，2＜a≤2+2 2 a2-4a，a＞2+2 2

…（12分）
（Ⅲ）∵函数f（x）在开区间（m，n）上既有最大值又有最小值，
由图知，0≤m＜2，4＜n≤2+2

2

．…（16分）

点评：本题考查带绝对值的函数，考查分类讨论思想与等价转化思想、数形结合思想的综合应用，属于难题．