Question

设函数f(x)=

sinx

tanx

．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）已知α∈(0，

π

2

)，且f(α)=

2

3

，求f(α+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的定义可知

tanx≠0 x≠kπ+ π 2

解三角不等式可求函数的定义域
（2）对函数进行化简可得，f（x）=cosx，由f(α)=

2

3

可得cosα=

2

3

，结合α∈(0，

π

2

) 可求sinα，而f(α+

π

3

)可以利用两角和的余弦公式可求．

解答：解：（1）由三角函数的定义可知

tanx≠0 x≠kπ+ π 2

∴

x≠kπ x≠kπ+ π 2

，k∈Z
函数的定义域为：{x|x≠

kπ

2

，k∈Z}
（2）对函数进行化简可得，f（x）=cosx，
∵f(α)=

2

3

即cosα=

2

3

∵α∈(0，

π

2

)∴sinα=

5

3

∴f(α+

π

3

)=cos(α+

π

3

)=cosαcos

π

3

-sinαsin

π

3

=

2

3

×

1

2

-

5

3

×

3

2

=

2- 15

6

点评：本题主要考查了三角函数的定义域的求解，此问题容易漏掉对正切函数定义域的考虑，要注意；还考查了两角和的三角公式在求解三角函数值中的应用．