题目内容

已知函数f （x）=4sinx•sin²（ $数学公式$ + $数学公式$ ）+2cos²x+1+a，x∈R是一个奇函数．
（1）求a的值和f （x）的值域；
（2）设w＞0，若y=f （wx）在区间[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]的增函数，求w的取值范围；
（3）设|θ|＜ $数学公式$ ，若对x取一切实数，不等式4+f （x+θ）f （x-θ）＞2f （x）都成立，求θ的取值范围．

解：化简得f（x）=2sinx+a+3
（1）f（-x）=-f（x）?a=-3∴f（x）=2sinx
f（x）∈[-2，2]（4分）
（2）f（wx）=2sinwx（w＞0）
- $\text{[math]}$ +2kπ≤wx≤2kπ+ $\text{[math]}$ k∈Z
- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ?0＜w≤ $\text{[math]}$
综上以上，0＜w≤ $\text{[math]}$ （8分）
（3）|θ|＜ $\text{[math]}$ ，x∈R时
4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx
即sin²x-sinx+1＞sin²θ恒成立
（sin²x-sinx+1）_min= $\text{[math]}$
∴sin²θ＜ $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$ ＜sinθ＜ $\text{[math]}$ θ∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∴θ∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（13分）
分析：首先将函数化简（1）根据函数是奇函数求出a的值，然后有正弦函数求出值域；
（2）写出函数f （wx）的式子，然后根据正弦函数的单调性求出x的范围，进而根据区间[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]的增函数，求出w的取值范围；
（3）首先求出4+f （x+θ）f （x-θ）并化简和求出最小值 $\text{[math]}$ ，再利用sin²θ＜ $\text{[math]}$ ，求出结果．
点评：本题考查了正弦函数的单调性和奇偶性以及不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题转化成求函数最值问题即可．属于中档题．