Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1-x）=f（1+x），且函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1-x）=f（1+x），可以求出f（x）的对称轴，再根据函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，可以求出f（x）的解析式；

解答：解：∵函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1-x）=f（1+x），
∴f（x）的对称轴为x=

1-x+1+x

2

=1，可得x=-

b

2a

=1①，
∵函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，可得g（x）=ax²+（b-1）x，
∴△=（b-1）²-4a×0=0，可得b=1代入①得，
∴-

1

2a

=1，可得a=-

1

2

，
∴f（x）=-

1

2

x²+x；

点评：此题主要考查函数的零点的问题以及解析式的求法，还考查函数的对称轴的性质，此题是一道基础题；