Question

如下图，棱柱的所有棱长都等于，，平面 ⊥平面，．（Ⅰ）求异面直线和所成的角；

   （Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；

   （Ⅲ）在直线上是否存在点，使//平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：连接交于，则，

连接，在△中，

∴

∴ 

∴由于平面⊥平面，

所以⊥底面，

∴以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，

则

(Ⅰ)由于，   

 则

∴     即异面直线和所成的角为．

  (Ⅱ)由于⊥平面

∴平面的法向量

设⊥平面，

则

得到

所以二面角的平面角的余弦值是

(Ⅲ)假设在直线上存在点，使//平面

设

则

得

设

则设

得到…10分

又因为平面

则?

即点在的延长线上且使……12分

法二：

在作于点，由于平面⊥平面，

由面面垂直的性质定理知，⊥平面，

又底面为菱形，所以，

（Ⅱ）在△中，

∴

所以是的中点，由于底面为菱形，所以也是中点

由（Ⅰ）可知⊥平面，

过作 ₁于点，连接，则

则为二面角的平面角,

在菱形中，

∴

∴

在Rt△中，

∴

∴二面角的平面角的余弦值是

（Ⅲ）存在这样的点,连接，因为

∴四边形为平行四边形，

∴ //，

在的延长线上取点，使，连接

因，∴ .

∴四边形为平行四边形,则//.

∴ //,

∴ //平面 _.