Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，）、（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点，
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）若，求k的值；
（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有。

Answer 1

解：（Ⅰ）设P（x，y），
由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆，
它的短半轴，
故曲线C的方程为；
（Ⅱ）设，
其坐标满足，消去y并整理得，
故，
若，即，
而，
于是，
化简得，所以；
（Ⅲ）
，
因为A在第一象限，故，
由知，从而，
又k＞0，故，
即在题设条件下，恒有。