Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=3，沿对角线BD把△BCD折起到△BPD位置，且P在面ABC内的射影O恰好落在AB上
（1）求证：AP⊥BP；
（2）求AB与平面BPD所成的角的正弦值．

Answer 1

证明：（I）由题意知，PO⊥面ABD，
∵PO?ABP，
∴面ABP⊥面ABD，
又∵AD⊥AB，面ABP∩面ABD=AB，
∴AD⊥面ABP，
∴AD⊥BP，
∵BP⊥PD
∴BP⊥面APD，
∴BP⊥AP，
（II）∵BP⊥APD，BP?面BPD，
∴面APD⊥面BPD．

作AH⊥PD于H，则AH⊥面BPD，连BH， 则BH为AB在面BPD上的射影，

∴∠ABH为AB与面BPD所成的角．
又在Rt△APD中，C′D=3

3

，AD=3，
∴AP=3

2

，∴AH=

6

∴sin∠ABH=

AH

AB

=

2

3

，
即AB与平面BPD所成角的正弦值为

2

3

．