Question

已知抛物线C：y²=4(x-1),椭圆C₁的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合.

(1)设B是椭圆C₁短轴的一个端点，线段BF的中点为P，求点P的轨迹C₂的方程;

(2)如果直线x+y=m与曲线C₂相交于不同两点M、N，求m的取值范围.

Answer 1

(1)解法一：由y²=4(x-1)知抛物线C的焦点F坐标为(2,0),准线l的方程为x=0.设动椭圆C₁的短轴的一个端点B的坐标为(x₁,y₁)(x₁＞2,y₁≠0)，点P(x,y),

    则

    ∴

    ∴B(2x-2,2y)(x＞2,y≠0).

    设点B在准线x=0上的射影为点B′,椭圆的中心为点O′，则椭圆离心率e=,由=,得=,

    整理，化简得y²=x-2(y≠0),这就是点P的轨迹方程.

    解法二：抛物线y²=4(x-1)焦点为F(2,0)，准线l:x=0.设P(x,y),

    ∵P为BF中点,

    ∴B(2x-2,2y)(x＞2,y≠0).

    设椭圆C₁的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c,

    则c=(2x-2)-2=2x-4,b²=(2y)²=4y²,

    ∵(-c)-(-)=2,

    ∴=2,即b²=2c.

    ∴4y²=2(2x-4),即y²=x-2(y≠0).

    此即C₂的轨迹方程.

(2)解：由(y≠0),得y²+y-m+2=0,令Δ=1-4(-m+2)＞0，解得m＞.

    而当m=2时，直线x+y=2过点(2,0)，这时它与曲线C₂只有一个交点,

    ∴所求m的取值范围是(,2)∪(2,+∞).