题目内容

函数 $数学公式$ （a为常数）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的值是________．

1或3
分析：由题意知，a²-4a-5 是偶数，再由单调性得a²-4a-5=（a-5）（a+1）＜0，结合这2个条件可以得到整数a的值．
解答：∵函数 $\text{[math]}$ （a为常数）是偶函数，∴a²-4a-5 是偶数．
又在（0，+∞）上是减函数，∴a²-4a-5=（a-5）（a+1）＜0，∴-1＜a＜5，
综上，整数a=1或a=3，
故答案为：1或3．
点评：本题考查函数奇偶性、单调性及幂函数的性质，属于基础题．

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如图，在直角坐标平面内有一个边长为a、中心在原点O的正六边形ABCDEF，AB∥Ox．直线L：y=kx+t（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记△OMN的面积为S，则函数S=f（t）的奇偶性为（　　）

C、不是奇函数，也不是偶函数

D、奇偶性与k有关

设函数f（x）的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a＞0，使f（a）=1，又f（x₁-x₂）=

，
（1）写出f（x）的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）若存在正常数T，使得等式f（x）=f（x+T）或者f（x）=f（x-T）对于x∈D都成立，则都称f（x）是周期函数，T为周期；试问f（x）是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由．

（2012•河北模拟）如图，直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点边长为a，AB边平行x轴，直线l：y=kx+t（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记△OMN的面积为S，则关于函数S=f（t）的奇偶性的判断正确的是（　　）

A．一定是奇函数

B．一定是偶函数

C．既不是奇函数，也不是偶函数

D．奇偶性与k有关

（2009•闸北区一模）设f(x)=2cos2x+

)+ax+b，其中a，b为非零实常数．
（1）若f(x)=1-

]，求x；
（2）若x∈R，试讨论函数g（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）已知：对于任意x₁，x₂∈R，恒有sin2x₁-sin2x₂≤2（x₁-x₂），当且仅当x₁=x₂时，等号成立．若a≥2，求证：函数g（x）在R上是递增函数．

如图,直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点，边长为a，AB平行于x轴，直线（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记的面积为S，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）

A．一定是奇函数

B．—定是偶函数

C．既不是奇函数，也不是偶函数

D．奇偶性与k有关