题目内容

若对任意实数x和正常数t，都有f（x+t）=- $数学公式$ 成立，则函数f（x）最小正周期为________．

2t
分析：利用周期函数的定义f（x+T）=f（x）（T≠0），对于正常数t，f（x+t+t）=- $\text{[math]}$ =f（x），可求得函数f（x）最小正周期．
解答：∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴函数f（x）最小正周期为2t．
故答案为：2t．
点评：本题考查函数的周期性，解题的关键是利用函数周期的定义．

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若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称．
（Ⅰ）已知函数f(x)=

的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；
（Ⅱ）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x²+ax+1，求函数g（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈（-∞，0），恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．

若对任意实数x和正常数t，都有f（x+t）=-

成立，则函数f（x）最小正周期为

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（1）求实数a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的x∈（x₁，+∞），都有f（x）＞m成立，求实数m的取值范围．

若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称．
（Ⅰ）已知函数

的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；
（Ⅱ）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x²+ax+1，求函数g（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈（-∞，0），恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．