Question

设函数f（x）=x²+aln（x+1）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求实数a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的x∈（x₁，+∞），都有f（x）＞m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数f′（x），令g（x）=2x²+2x+a，由题意知x₁、x₂是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，建立不等关系解之即可；
（2）在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出单调区间；
（3）x₂是方程g（x）=0的根，将a用x₂表示，消去a得到关于x₂的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可求m的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）=x²+aln（x+1）可得f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

（x＞-1）．
令g（x）=2x²+2x+a（x＞-1），则其对称轴为x=-

1

2

，
故由题意可知x₁，x₂是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实数根，
其充要条件为

△=4-8a＞0 g(-1)=a＞0

，解得0＜a＜

1

2

；
（2）由（1）可知f′(x)=

2x2+2x+a

x+1

=

2(x-x1)(x-x2)

x+1

，其中-1＜x₁＜x₂，故
①当x∈（-1，x₁）时，f'（x）＞0，即f（x）在区间（-1，x₁）上单调递增；
②当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，即f（x）在区间（x₁，x₂）上单调递减；
③当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，即f（x）在区间（x₂，+∞）上单调递增；
（3）由（2）可知f（x）在区间（x₁，+∞）上的最小值为f（x₂）．
又由于g（0）=a＞0，因此-

1

2

＜x2＜0．又由g(x2)=2

x

2 2

+2x2+a=0
可得a=-(2

x

2 2

+2x2)，从而f(x2)=

x

2 2

+aln(x2+1)=

x

2 2

-(2

x

2 2

+2x2)ln(x2+1)．
设h（x）=x²-（2x²+2x）ln（x+1），其中-

1

2

＜x＜0，
则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（x+1）-2x=-2（2x+1）ln（x+1）．
由-

1

2

＜x＜0知：2x+1＞0，ln（x+1）＜0，
故h'（x）＞0，故h（x）在(-

1

2

，0)上单调递增．
所以，f(x2)=h(x2)＞h(-

1

2

)=

1-2ln2

4

．
所以，实数m的取值范围为m≤

1-2ln2

4

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．