Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n=（n≥2）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=，数列{b_n}的前项n和为T_n，求证：T_n＜n+1．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用数列递推式证明数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，再求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{b_n}的通项，利用裂项法求前项n和为T_n，即可得出结论．
解答：（I）解：∵a_n=，
∴S_n-S_n-1=
∴-=1（n≥2）
∵a₁=1，
∴=1，
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴
∴S_n=n²
∴n≥2时，a_n=2n-1
n=1时也满足上式
∴a_n=2n-1；
（II）证明：b_n==1+=1+，
∴T_n=n+（1-++…+）=
∵
∴T_n＜n+1．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．