Question

（本题满分14分）已知函数，且是函数的一个极值点．

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）设，当函数在区间 上零点的个数为0个，3个时，实数的取值范围分别为多少？（参考数据：，）

Answer 1

（1）a=4；

（2）当时，y=f（x）单调递增；当时，y=f（x）单调递减；当时，y=f（x）单调递减；

（3）0个时，m<2；3个时，≤m<

【解析】

试题分析：【解析】
（1）， 2分

得a=4． 3分

（2）由（1）知，由，解得，

由及x>0得或，

于是当时，y=f（x）单调递增；

当时，y=f（x）单调递减；

当时，y=f（x）单调递减． 7分

（3）令g（x）=f（x）-m=0，于是f（x）=m，所以函数y=g（x）在区间（0,5]上零点的个数是

y=f（x），x∈（0,5]与直线y=m交点的个数． 9分

由下表：

x	（0,1）	1	（1,3）	3	（3,5）	5
	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值2	↗	极大值	↘

注意到： > >2，

所以函数f（x）在（0,5]的最小值为2，无最大值 11分

结合大致图象可知：

当m<2时，g（x）=f（x）-m的零点个数为0；

当m=2或m>时，g（x）=f（x）-m的零点个数为1；

当2<m<或m=时，g（x）=f（x）-m的零点个数为2；

当≤m<时，g（x）=f（x）-m的零点个数为3． 14分

考点：本题考查导数研究函数的单调性，极值；函数的零点的个数