题目内容
在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，向量
=(1，cosB)，
=(sinB，-
)，且
⊥
．
（1）求角B的大小；
（2）求函数f（x）=sin（2x+B）的单调减区间；
（3）若△ABC面积为
，3ac=25-b2，求a，c的值．
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
（1）求角B的大小；
（2）求函数f（x）=sin（2x+B）的单调减区间；
（3）若△ABC面积为
3
| ||
| 2 |
分析：（1）由向量的垂直与数量积的关系结合B的范围可得B值；
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+
），由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
解不等式可得单调区间；
（3）由余弦定理结合已知可得a+c=5，再由面积公式可得ac=6，联立方程组可得．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
（3）由余弦定理结合已知可得a+c=5，再由面积公式可得ac=6，联立方程组可得．
解答：解：（1）∵
⊥
，∴
•
=0
∴
•
=sinB-
cosB=0，
∵△ABC为锐角三角形，∴cosB≠0
∴tanB=
，∴B=
．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+
），
由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
可得kπ+
≤x≤kπ+
故函数的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z
（3）由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，代入数据得b2=a2+c2-ac，
结合已知3ac=25-b2可得3ac=25-a2-c2+ac，解得a+c=5．
∵S△ABC=
acsinB=
ac×sin
=
ac=
，∴ac=6
联立
，解得
，或
．
| m |
| n |
| m |
| n |
∴
| m |
| n |
| 3 |
∵△ABC为锐角三角形，∴cosB≠0
∴tanB=
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+
| π |
| 3 |
由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
故函数的单调递减区间为[kπ+
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（3）由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，代入数据得b2=a2+c2-ac，
结合已知3ac=25-b2可得3ac=25-a2-c2+ac，解得a+c=5．
∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 4 |
3
| ||
| 2 |
联立
|
|
|
点评：本题考查向量的数量积以及三角函数的单调性和正余弦定理的应用，属中档题．
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