Question

如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，圆O的直径为9．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求二面角D-BC-E的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲证平面ABCD⊥平面ADE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面ADE垂直，易证CD⊥平面ADE，从而得到结论；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，作FG∥AB交BC于点G，连接GE，根据二面角平面角的定义可知∠FGE是二面角D-BC-E的平面角，在Rt△EFG中，求出此角的正切值即可．

解答：（1）证明：∵AE垂直于圆O所在平面，CD在圆O所在平面上，
∴AE⊥CD．
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
∵CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE．

（2）∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE，
∴CD⊥DE．
∴CE为圆O的直径，即CE=9．
设正方形ABCD的边长为a，
在Rt△CDE中，DE²=CE²-CD²=81-a²，
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=a²-9，
由81-a²=a²-9，解得，a=3

5

．
∴DE=

AD2-AE2

=6．
过点E作EF⊥AD于点F，作FG∥AB交BC于点G，连接GE，
由于AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，
∴EF⊥AB．
∵AD∩AB=A，
∴EF⊥平面ABCD．
∵BC?平面ABCD，
∴BC⊥EF．
∵BC⊥FG，EF∩FG=F，
∴BC⊥平面EFG．
∵EG?平面EFG，
∴BC⊥EG．
∴∠FGE是二面角D-BC-E的平面角．
在Rt△ADE中，AD=3

5

，AE=3，DE=6，
∵AD•EF=AE•DE，
∴EF=

AE•DE

AD

=

3×6

3 5

=

6 5

5

．
在Rt△EFG中，FG=AB=3

5

，
∴tan∠EGF=

EF

FG

=

2

5

．
故二面角D-BC-E的平面角的正切值为

2

5

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．