Question

如图，在某点B处测得建筑物AE的项点A的仰角为θ，沿B前进30米至C点处测得顶点A的仰角为2θ，再继续前进10

3

米至D点，测得顶点A的仰角为4θ，求θ的大小及建筑物AE的高．

Answer 1

分析：由题意及仰角的定义画出图形，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系及三角形求解即可．

解答：解：由已知BC=30米，CD=10

3

米，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，
在Rt△ABE中，BE=AEcotθ，
在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，
∴BC=BE-CE=AE（cotθ-cot2θ）．
同理可得：CD=AE（cot2θ-cot4θ）．
∴

BC

DC

=

AE(cotθ-cot2θ)

AE(cot2θ-cot2θ)

即

cotθ-cot2θ

cot2θ-cot4θ

=

30

10 3

=

3

而cotθ-cot2θ=

cosθ

sinθ

-

cos2θ

sin2θ

=

sin2θcosθ-cos2θsinθ

sinθsin2θ

=

1

sin2θ

．
同理可得cot2θ-cot4θ=

1

sin4θ

．
∴

cotθ-cot2θ

cot2θ-cot4θ

=

sin4θ

sin2θ

=2cos2θ=

3

∴cos2θ=

3

2

，结合题意可知：2θ=30°，θ=15°，
∴AE=

BC

cotθ-cot2θ

=BCsin2θ=15（米）．

点评：此题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，还考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角，及二倍角的正切公式．