Question

6．有一个关于x的二次函数，当x=1时取最大值4，并且它的图象在x轴上截得的线段长为4，试求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析 根据函数的最值和对称性，利用待定系数法进行求解即可．

解答 解：∵关于x的二次函数，当x=1时取最大值4，
∴设f（x）=a（x-1）²+4，a＜0，
由f（x）=0得a（x-1）²+4=0，
即（x-1）²=-$\frac{4}{a}$，
则x-1=$±\sqrt{-\frac{4}{a}}$，
即x₁=1+$\sqrt{-\frac{4}{a}}$，或x₂=1-$\sqrt{-\frac{4}{a}}$，
∵在x轴上截得的线段长为4，
∴x₁-x₂=1+$\sqrt{-\frac{4}{a}}$-（1-$\sqrt{-\frac{4}{a}}$）=2$\sqrt{-\frac{4}{a}}$=4，
即$\sqrt{-\frac{4}{a}}$=2，平方得-$\frac{4}{a}$=4，
解得a=-1，
即f（x）=-（x-1）²+4．

点评 本题主要考查一元二次函数的解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．