Question

【题目】已知抛物线的准线与半椭圆相交于两点，且.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若点是半椭圆上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由抛物线准线与椭圆相交的弦长构建方程求得p值即可；

（Ⅱ）设点坐标为，由题意可知切线斜率不会为0，设出两条切线的直线方程，联立直线与抛物线方程，由相切关系构建方程，并由两切点分别得到是方程的两根，进而由韦达定理与直线和方程的关系可知，是的两点，再由点到直线的距离公式和弦长公式表示的底和高从而表示面积，最后换元求函数的最值即可.

（Ⅰ）由题可知，抛物线的准线为，则有得，

所以.

（Ⅱ）设点坐标为，且满足.

由题意可知切线斜率不会为0，即设切线为，

代入得，

由可得①，

设切点，抛物线的上半部曲线函数关系式为，则，

故，将其代入①可得②.

设切线为，切点，同理可得③.

由②③可知是方程的两根，所以，，

又，，所以代入②③可知，是的两点，即直线方程为.

故

又因为且，所以.

令，由二次函数性质可知，其在上单调递减，故，

所以